В связи с развитием алгебры потребовалось ввести сверх прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они и называются комплексными.
Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей.
“Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел
(когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).
Действительное число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа
a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е. i2= -1. (1)
Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.
Оставим в стороне вопрос о геометрическом или физическом смысле числа i, потому что в разных областях науки этот смысл различен.
Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.